Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在區(qū)間上的最大值；

（2）若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；

（3）問過點(diǎn)分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)等于0求出，再代入原函數(shù)解析式，最后比較大小，即可；（2）設(shè)切點(diǎn)，由相切得出切線方程，然后列表并討論求出結(jié)果;(3)由（2）容易得出結(jié)果.

(1)由得，令，得或，

因?yàn)?/span>， ， ， ，

所以在區(qū)間上的最大值為.

（2）設(shè)過點(diǎn)P（1，t）的直線與曲線相切于點(diǎn)，則

，且切線斜率為，所以切線方程為，

因此，整理得： ，

設(shè) ，則“過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同零點(diǎn)”， =，

與的情況如下：

		0		1
	+	0		0	+
		t+3

所以， 是的極大值， 是的極小值，

當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以

至多有2個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)， 時(shí)，此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以

至多有2個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)且，即時(shí)，因?yàn)?/span>，，

所以分別為區(qū)間和上恰有1個(gè)零點(diǎn)，由于在區(qū)間和上單調(diào)，所以分別在區(qū)間和上恰有1個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切時(shí)，t的取值范圍是.

（3）過點(diǎn)A（-1，2）存在3條直線與曲線相切；

過點(diǎn)B（2，10）存在2條直線與曲線相切；

過點(diǎn)C（0，2）存在1條直線與曲線相切.