Question

已知實數(shù)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（Ⅱ）若≥對任意的恒成立，求實數(shù)的值；
（Ⅲ）證明：

Answer 1

（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由得出函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，從而；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中時的單調(diào)性可知，即，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)分析可得在上增，在上遞減，則，由對任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，由于，從 而由放縮和裂項求和可得：
 .
試題解析：（I）當(dāng)，
由， 得單調(diào)增區(qū)間為；
由，得單調(diào)減區(qū)間為 ，                       2分
由上可知                           4分
（II）若對恒成立，即，
由（I）知問題可轉(zhuǎn)化為對恒成立 ．       6分
令 ，  ，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴．
即 ， ∴ ．                   8分
由圖象與軸有唯一公共點,知所求的值為1．   9分
（III）證明：由（II）知，  則在上恒成立．
又，                      11分

                        12分
．14分