Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=a，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足2b_n-a_n=na_n．
（1）若a₁、a₃、a₄成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)-22≤a≤-18時(shí)，不等式b_n≥b₅能否對于一切n∈N^*恒成立？請說明理由．
（3）數(shù)列{c_n}滿足cn+1-cn=(

1

2

)n(n∈N*)，其中c₁=1，f（n）=b_n+c_n，當(dāng)a=-20時(shí)，求f（n）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可表示a_n，由a₁、a₃、a₄成等比數(shù)列，得a1a4=

a

2 3

，可化為關(guān)于a的方程，解出a即可得到a_n；
（2）當(dāng)-22≤a≤-18時(shí)，不等式b_n≥b₅對于一切n∈N*恒成立，等價(jià)于b₅為b_n的最小值，先表示出b_n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求；
（3）利用累加法可求得c_n，進(jìn)而可求得a=-20時(shí)b_n，f（n），利用作差法可判斷f（n+1）與f（n）的大小關(guān)系，由此可求得f（n）的最小值；

解答： 解：（1）依題意a_n=a+2n-2，
∵a₁、a₃、a₄成等比數(shù)列，
∴a1a4=

a

2 3

，即a（a+6）=（a+4）²，解得a=-8，
故a_n=2n-10．
（2）由2b_n-a_n=na_n，a_n=a+2n-2，得
bn=

1

2

(n+1)an=

1

2

(n+1)(a+2n-2)=n2+

a

2

n+

a-2

2

=(n+

a

4

)2-(

a-4

4

)2．
∵f(x)=(x+

a

4

)2-(

a-4

4

)2的圖象的對稱軸為x=-

a

4

，-22≤a≤-18，
∴

9

2

≤-

a

4

≤

11

2

，
又x∈N^*，∴當(dāng)x=-

a

4

=5，即a=-20時(shí)，f（x）取最小值．
故當(dāng)-22≤a≤-18時(shí)，不等式b_n≥b₅對一切n∈N^*恒成立．
（3）∵cn+1-cn=(

1

2

)n，
∴n≥2時(shí)，cn=c1+(c2-c1)+(c3-c2)+…+(cn-cn-1)=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-1=2-(

1

2

)n-1，
n=1時(shí)c₁=1，適合上式，
故cn=2-(

1

2

)n-1．
當(dāng)a=-20時(shí)，bn=n2+

a

2

n+

a-2

2

=n2-10n-11，f(n)=bn+cn=n2-10n-9-(

1

2

)n-1，
則f(n+1)=(n+1)2-10(n+1)-9-(

1

2

)n=n2-8n-18-(

1

2

)n，f(n+1)-f(n)=2n+(

1

2

)n-9．
∴當(dāng)n≥5時(shí)，f（n+1）-f（n）＞0，即f（n+1）＞f（n），∴f（5）＜f（6）＜…＜f（n）＜…；
當(dāng)1≤n≤4時(shí)，f(n+1)-f(n)=2n+(

1

2

)n-9＜0，即f（n+1）＜f（n），∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）．
故f（n）的最小值為f(5)=-

545

16

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合、數(shù)列的函數(shù)特性，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力，對運(yùn)算能力有一定要求，屬中檔題．