Question

某個凸多面體有32個面，各面是三角形或五邊形，每個頂點(diǎn)處的棱數(shù)都相等，則這個凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)可以是（ ）
A．60
B．45
C．30
D．15

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出這個凸多面體有n個面是三角形，則是五邊形的面有32-n個，寫出總棱數(shù)的表示式，根據(jù)歐拉定理寫出v與m的關(guān)系式，然后討論這個不定方程的自然數(shù)解．得到結(jié)果
解答：解：設(shè)這個凸多面體有n個面是三角形，則是五邊形的面有32-n個，此時總棱數(shù)
條．
由歐拉定理可知，V+32-E=2，
∴V=50-n．
又設(shè)每個頂點(diǎn)處的棱數(shù)為m條（其中3≤m≤5且m∈N*），
由于每個頂點(diǎn)處的棱數(shù)都相等，則總棱數(shù)條，
由歐拉定理可知，，
∴50-n=（其中3≤m≤5且m∈N*）．然后討論這個不定方程的自然數(shù)解：
當(dāng)m=3時，可得n=-10，不合題意，舍去；
當(dāng)m=4時，可得n=20，∴V=30；
當(dāng)m=5時，可得n=30，∴V=20．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查歐拉函數(shù)與歐拉定理，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵需要寫出所有的可能的情況，這里應(yīng)用分類討論思想，注意做到不重不漏．