Question

設函數f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（cos2x+1，1），

b

=（1，

3

sin2x+m）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，

π

6

]時，-4＜f（x）＜4恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）利用平面向量數量積的運算表示出f（x）的解析式，然后根據兩角和公式對其化簡，利用三角函數的周期公式求得函數的最小正周期．
（2）利用x的范圍可求得2x+

π

6

的范圍，進而求得函數f（x）的范圍，根據-4＜f（x）＜4恒成立求得m的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=cos2x+1+

3

sin2x+m=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∴T=

2π

2

=π．
（2）∵當x∈[0，

π

6

]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴2+m≤2sin（2x+

π

6

）+m+1≤3+m，
∴要使-4＜f（x）＜4恒成立，需

3+m＜4 2+m＞-4

，
解得-6＜m＜1．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，平面向量數量積的運算，三角函數圖象和性質，不等式相關知識．注重了對學生基礎知識和推理能力的考查．