【題目】已知動點(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)的距離之比為.

(1)求動點(diǎn)P的軌跡;

(2)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B軸的上方)

①當(dāng)A為橢圓與軸的正半軸的交點(diǎn)時,求直線的方程;

②對于動直線,是否存在一個定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)動點(diǎn)P的軌跡為:,是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸、長軸長為2、短軸長為2的橢圓;(2),②存在定點(diǎn),滿足題意,證明見解析.

【解析】

(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)之間距離公式,化簡整理即可得出動點(diǎn)P的軌跡;

(2) ①求直線FB:和橢圓聯(lián)立求B點(diǎn)坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)式求直線方程;

②設(shè)直線方程和橢圓聯(lián)立消元化簡,由,然后利用韋達(dá)定理代入化簡可得,代入直線方程即可求得答案.

(1)設(shè)點(diǎn)P(),則P點(diǎn)到直線的距離,P點(diǎn)到點(diǎn)的距離,由題意,得,化簡整理得:

所以動點(diǎn)P的軌跡為:,是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸、長軸長為2、短軸長為2的橢圓.

(2)由題意直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B軸的上方),可得直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,由,可得.

①由(1)得曲線,則得A(0,1),F(-1,0),所以,,所以直線FB的方程為,聯(lián)立消解得,

代入,可得交點(diǎn)坐標(biāo):(0,-1),(),由B點(diǎn)在軸上方則可得B點(diǎn)坐標(biāo)為(),則由兩點(diǎn)式可得直線,化簡得.

②存在定點(diǎn),滿足題意,證明如下:

設(shè)A(),B()

化簡得

,

所以由,,可得

化簡得,代入

化簡得,所以直線方程為:,可得直線恒過點(diǎn),

故無論如何變化,滿足題意的直線恒過定點(diǎn).

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