Question

【題目】現(xiàn)有正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)表如下：

第一行：1

第二行：1 2

第三行：1 1 2 3

第四行：1 1 2 1 1 2 3 4

第五行：1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5

…… …… ……

第行：先抄寫(xiě)第1行，接著按原序抄寫(xiě)第2行，然后按原序抄寫(xiě)第3行,...,直至按原序抄寫(xiě)第行，最后添上數(shù).（如第四行，先抄寫(xiě)第一行的數(shù)1，接著按原序抄寫(xiě)第二行的數(shù)1，2，接著按原序抄寫(xiě)第三行的數(shù)1，1，2，3，最后添上數(shù)4）.

將按照上述方式寫(xiě)下的第個(gè)數(shù)記作（如）

（1）用表示數(shù)表第行的數(shù)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）第8行中的數(shù)是否超過(guò)73個(gè)？若是，用表示第8行中的第73個(gè)數(shù)，試求和的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）令，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可以寫(xiě)出當(dāng)時(shí)， ，

，于是，即，所以，故；（2）根據(jù)，第8行中共有個(gè)數(shù)，所以，第8行中的數(shù)超過(guò)73個(gè)，所以，從而， ，由， ，所以，按上述順序依次寫(xiě)下的第73個(gè)數(shù)應(yīng)是第7行的第個(gè)數(shù)，同上過(guò)程知，所以， .（3）由于數(shù)表的前行共有個(gè)數(shù)，于是，先計(jì)算.在前個(gè)數(shù)中，共有1個(gè)，2個(gè)， 個(gè)，……， 個(gè)，……， 個(gè)1，因此 ，則 ，兩式相減，得 .

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

，

，

于是，即，又， ，

所以，

故.

（2）由得第8行中共有個(gè)數(shù)，

所以，第8行中的數(shù)超過(guò)73個(gè)，

，

從而， ，

由， ，

所以，按上述順序依次寫(xiě)下的第73個(gè)數(shù)應(yīng)是第7行的第個(gè)數(shù)，同上過(guò)程知，

所以， .

（3）由于數(shù)表的前行共有個(gè)數(shù)，于是，先計(jì)算.

在前個(gè)數(shù)中，共有1個(gè)，2個(gè)， 個(gè)，……， 個(gè)，……， 個(gè)1，

因此 ，

則 ，

兩式相減，得 .