Question

經(jīng)過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F的直線L與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，直線AB與直線OM（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為k、m，且km=-

1

a2

．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）已知k=

2

4

，連接OM并延長交橢圓于點(diǎn)C，若四邊形OACB恰好是平行四邊形，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出直線AB的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求m、km，利用km=-

1

a2

，即可求b的值；
（Ⅱ）根據(jù)OACB是平行四邊形，可得

OC

=

OA

+

OB

，從而可求C的坐標(biāo)，利用C在橢圓上，即可求得橢圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-c），代入橢圓方程，消元可得
（a²k²+b²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，…（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

，m=

y0

x0

，…（4分）
∴x₀=

a2k2c

a2k2+b2

，y₀=k（x₀-c）=-

kb2c

a2k2+b2

∴m=

y0

x0

=-

b

a2k

，∴km=-

b2

a2

；
又∵km=-

1

a2

，∴b=1；                       …（6分）
（Ⅱ）∵OACB是平行四邊形，則

OC

=

OA

+

OB

，…（8分）
∴x_c=x₁+x₂=2x₀=

2a2k2c

a2k2+b2

=

2a2c

a2+8

，y_c=y₁+y₂=2y₀=-

4 2 c

a2+8

，
∵C在橢圓上，∴

( 2a2c a2+8 )2

a2

+

(- 4 2 c a2+8 )2

b2

=1，…（10分）
整理得4c²=a²+8，
∵c²=a²-1，∴a²=4，
∴橢圓的方程是

x2

4

+y2=1．                    …（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識，直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解題是關(guān)鍵．