Question

（2008•崇明縣一模）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是（　　）

• A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|
• B．|a-b|+

  1

  a-b

  ≥2
• C．a2+

  1

  a2

  ≥a+

  1

  a

• D．a(chǎn)²+b²≥2|ab|

Answer 1

分析：A：|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|，
B：反例a-b=-1，則該不等式不成立，
C：由于函數(shù)f(x)=x+

1

x

在（0，1]單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)a＞1時，當(dāng)0＜a＜1，當(dāng)a=1，三種情況討論即可
D：由（a±b）²≥0可得a²+b²≥±2ab可得

解答：解：A：|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|，故A恒成立
B：若a-b=-1，則該不等式不成立，故B不恒成立
C：由于由于函數(shù)f(x)=x+

1

x

在（0，1]單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)a＞1時，a²＞a＞1，f（a²）＞f（a）即，a2+

2

a2

＞a+

1

a

，當(dāng)0＜a＜1，0＜a²＜a＜1，f（a²）＞f（a）即a2+

1

a2

＞a+

1

a

當(dāng)a=1，a2+

1

a2

=a+

1

a

故C恒成立
D：由（a±b）²≥0可得a²+b²≥±2ab即a²+b²≥2|ab|恒成立
故選：B

點評：本題主要考查了絕對值不等式|a±b|≤|a|+|b|，函數(shù)f（x）=x+

1

x

的單調(diào)性的應(yīng)用，基本不等式a²+b²≥±2ab等知識的綜合應(yīng)用．