20.某化工廠從今年一月起,若不改善生產環(huán)境,按生產現(xiàn)狀,每月收入為70萬元,同時將受到環(huán)保部門的處罰,第一個月罰3萬元,以后每月增加2萬元.如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設備(改造設備時間不計),一方面可以改善環(huán)境,另一方面也可以大大降低原料成本.據(jù)測算,添加回收凈化設備并投產后的前5個月中的累計生產凈收入g(n)是生產時間n個月的二次函數(shù)g(n)=n2+kn(k是常數(shù)),且前3個月的累計生產凈收入可達309萬,從第6個月開始,每個月的生產凈收入都與第5個月相同.同時,該廠不但不受處罰,而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵100萬元.
(1)求前8個月的累計生產凈收入g(8)的值;
(2)問經過多少個月,投資開始見效,即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入.

分析 (1)根據(jù)g(3)計算k,再計算g(5)和g(5)-g(4),于是g(8)=g(5)+3[g(5)-g(4)];
(2)求出投資前后前n個月的總收入,列不等式解出n的范圍即可.

解答 解:(1)據(jù)題意g(3)=32+3k=309,解得k=100,
∴g(n)=n2+100n,(n≤5)
第5個月的凈收入為g(5)-g(4)=109萬元,
所以,g(8)=g(5)+3×109=852萬元.
(2)g(n)=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+100n,n≤5}\\{g(5)+109(n-5),n>5}\end{array}\right.$即$g(n)=\left\{\begin{array}{l}{n^2}+100n,(n≤5)\\ 109n-20,(n>5)\end{array}\right.$﹒
若不投資改造,則前n個月的總罰款3n+$\frac{n(n-1)}{2}×2$=n2+2n,
令g(n)-500+100>70n-(n2+2n),
得:g(n)+n2-68n-400>0.
顯然當n≤5時,上式不成立;
當n>5時,109n-20+n2-68n-400>0,即n(n+41)>420,
又n∈N,解得n≥9.
所以,經過9個月投資開始見效.

點評 本題考查了分段函數(shù)的應用,數(shù)列求和,屬于中檔題.

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