Question

為迎接省運(yùn)會(huì)在我市召開(kāi)，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，該圓形花盆直徑2米，內(nèi)部劃分為不同區(qū)域種植不同花草．如圖所示，在蝶形區(qū)域內(nèi)種植百日紅，該蝶形區(qū)域由四個(gè)對(duì)稱(chēng)的全等三角形組成，其中一個(gè)三角形OAB的頂點(diǎn)O為圓心，A在圓周上，B在半徑OQ上，設(shè)計(jì)要求∠ABO=120°．
（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)置一個(gè)變量x，寫(xiě)出該蝶形區(qū)域的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）x為多少時(shí)，該蝶形區(qū)域面積S最大？

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）設(shè)∠AOB=x，在三角形AOB中，由正弦定理表示出OB，S為4個(gè)三角形AOB面積，表示出S與x關(guān)系式即可；
（2）由（1）的結(jié)論整理S，利用正弦函數(shù)的值域確定出S最大時(shí)x的值即可．

解答： 解：（1）設(shè)∠AOB=x，在三角形AOB中，由正弦定理得

AB

sinx

=

OB

sin(60°-x)

=

OA

sin120°

=

1

3 2

，
∴OB=

2

3

sin（60°-x），
則S=4S_△AOB=2OA•OBsinx=

4

3

sin（60°-x）sinx；
（2）由（1）整理得：S=

4

3

（

3

2

cosx+

1

2

sinx）sinx=

2 3

3

sin（2x+30°）-

3

3

，
則x=30°時(shí)，蝶形區(qū)域面積最大．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及三角形面積公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．