Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導(dǎo)函數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=f（x）+f′（x）．
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（2）討論g（x）與g（$\frac{1}{x}$）的大小關(guān)系；
（3）是否存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x₀）|＜$\frac{1}{x}$對(duì)任意x＞0成立？若存在求出x₀的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)取得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最小值；
（2）構(gòu)造函數(shù)φ（x），利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最小值，從而求得g（x）與g（$\frac{1}{x}$）的大小大小關(guān)系；
（3）假設(shè)存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜$\frac{1}{x}$對(duì)任意x＞0成立，轉(zhuǎn)化為封閉型命題，利用研究函數(shù)的最值可得結(jié)論．

解答 解：（1）由f（1）=0，導(dǎo)函數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$可知f（x）=lnx，x＞0，
∵g（x）=f（x）+f'（x），∴g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，x＞0．
求導(dǎo)函數(shù)可得g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0；x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1），極小值為g（1）=1
∵函數(shù)在定義域上僅有一個(gè)極小值，∴也為最小值，最小值為g（1）=1．
（2）設(shè)φ（x）=g（x）-g（$\frac{1}{x}$）=2lnx+$\frac{1}{x}$-x，x＞0，
則φ′（x）=-（ $\frac{x-1}{x}$）²≤0，故函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
∵φ（1）=0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ（x）＞0，即g（x）＞g（$\frac{1}{x}$）；
x∈（1，+∞）時(shí)，φ（x）＜0，即g（x）＜g（$\frac{1}{x}$）；
x=1時(shí)，g（x）=g（$\frac{1}{x}$）．
（3）假設(shè)存在滿足題設(shè)的x₀，則|g（x）-g（x₀）|＜$\frac{1}{x}$
?-$\frac{1}{x}$＜g（x₀）-（lnx+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$
?lnx＜g（x₀）＜lnx+$\frac{2}{x}$，對(duì)任意x＞0成立，
從而有 $\left\{\begin{array}{l}{{（lnx）}_{max}＜g{（x}_{0}）}\\{g{（x}_{0}）{＜（lnx+\frac{2}{x}）}_{min}}\end{array}\right.$，
∵lnx→+∞，（lnx+$\frac{2}{x}$）_min=1，
∴無(wú)解，故不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，考查分類討論的思想方法．其中問(wèn)題（3）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．