Question

已知f（x）=

1

2

lnx-

1

2

x，g（x）=2cos²x+sinx+a．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對于任意x₁∈[

1

e

，e]，總存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，主要強調(diào)求區(qū)間的步驟．
（Ⅱ）對于任意x₁∈[

1

e

，e]，總存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，主要考慮恒成立問題及存在性問題的綜合應用，即f（x）_max≤g（x）_max．進一步確定復合函數(shù)的最值，進一步求出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

1

2x

-

1

2

=

1-x

2x

(x＞0)
由f'（x）=0得x=1
當x變化時，h'（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	最大值	↘

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[

1

e

，1]上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減
∴對于x∈[

1

e

，e]，f(x)max=f(1)=-

1

2

當x∈[0，

π

2

]時，0≤sinx≤1，g（x）=2cos²x+sinx+a=2（1-sin²x）+sinx+a=-2sin2x+sinx+a+2=-2(sinx-

1

4

)2+a+

17

8

．
所以當sinx=

1

4

時，g(x)max=a+

17

8

．
對于任意x1∈[

1

e

，e]，總存在x2∈[0，

π

2

]，
使得f（x₁）≤g（x₂）成立，即f（x）_max≤g（x）_max．
即：-

1

2

≤a+

17

8

，解得a≥-

21

8

所以實數(shù)a的取值范圍是 [-

21

8

，+∞)

點評：本題考查的知識要點：利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問題和存在性問題在函數(shù)中的應用，以及復合型函數(shù)的值域