Question

10．長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=-1．

Answer 1

分析 法1：可畫出圖形，可以得出$\overrightarrow{AC}=-（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}）$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，然后進(jìn)行數(shù)量積的運算即可求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$的值．
法2：建立直角坐標(biāo)系，利用向量法解決．

解答 解：如圖，

$\overrightarrow{AC}=-（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}）$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=-（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}）•（-\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}）$
=${\overrightarrow{CB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{CD}}^{2}$
=1+0-2
=-1．
法2：分別以DC，DA所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：

A（0，1），C（2，0），B（2，1），E（1，0）；
∴$\overrightarrow{AC}=（2，-1），\overrightarrow{BE}=（-1，-1）$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=-2+1=-1$；
故答案為：-1．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，相反向量的概念，向量數(shù)乘的幾何意義，以及數(shù)量積的運算，向量垂直的充要條件．