Question

【題目】如圖，圓與直線相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線在第一象限的交點(diǎn)為.點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿足，以為坐標(biāo)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；

（2）若兩條直線和分別交曲線于點(diǎn)和，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的的值．

（3）根據(jù)曲線的方程，研究曲線的對(duì)稱(chēng)性，并證明曲線為橢圓．

Answer 1

【答案】（1），；（2）時(shí)，四邊形的面積最大值為；（3）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由圓半徑為圓心到切線距離得圓半徑，從而得圓方程，由表示出點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程可得曲線的方程．

（2）把方程代入曲線的方程求得的坐標(biāo)，得，同理可得，由得，應(yīng)用整體換元法結(jié)合基本不等式可求得最值（也可變形為，求最值）；

（3）由曲線的方程可得對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這個(gè)方程除右邊是常數(shù)1外，左邊是二次式且為和的形式，與我們所學(xué)橢圓的方程類(lèi)似，因此可假設(shè)其為橢圓，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)求頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓定義證明．

解：（1）由題意圓的半徑，

故圓的方程為.

由得，，將代入

得為曲線的方程.

（2）由

得,，

所以，同理.

由題意知 ，所以四邊形的面積，.

∵ ，∴ .

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).

∴ 當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值為.

（3） 曲線的方程為，它關(guān)于直線、和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

下面證明：

設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，顯然，所以點(diǎn)在曲線上，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，

同理曲線關(guān)于直線和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

證明：求得和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

，，，.

在上取點(diǎn) .

設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，則

（因?yàn)?/span>）

.

即曲線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值.

若點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，可以求得點(diǎn)的軌跡方程為（過(guò)程略）.

故曲線是橢圓