Question

【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.

（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）是否存在正整數(shù)，，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，；若不存在，說明理由；

（3）設(shè)，若對一切正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）.

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，聯(lián)立解得，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得

（2）結(jié)合求出，，，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，通過相應(yīng)的轉(zhuǎn)換得到，均為偶數(shù)，設(shè)，，將等式轉(zhuǎn)化為，通過放縮可得與上式矛盾，所以不存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列。

（3）分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況討論，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可設(shè)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，，再對進(jìn)行化簡求值，分離參數(shù)，通過恒成立問題進(jìn)一步確定取值范圍。

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由題意知，①

，②，聯(lián)立①②得，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，即

（2），，，，

當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，有，

即，

，，，

，

、均為正整數(shù)，為整數(shù)，為整數(shù)，

則，

一定為偶數(shù)，整理得，則一定為偶數(shù)，

設(shè)，，、均為正整數(shù)，，

則轉(zhuǎn)化為，

，令，則且為整數(shù)，

則，，則，

（放縮可得），與上式矛盾，

所以不存在正整數(shù)、使，，成等比數(shù)列。

（3）由（1）得，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，

則，

，

則不等式等價(jià)于對一切正整數(shù)恒成立，

即，設(shè)，，則，單調(diào)遞增，，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，，

代入不等式，得，即，

又，的最大值為-4，

綜上所述，的取值范圍為