Question

如圖．在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底    面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：平面PAC⊥平面PDB；
（3）求三梭錐D一ECB的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線和線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用面面垂直的判定定理即可證明；
（3）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，利用三角形的中位線定理可得EF⊥底面ABCD，由V_{三棱錐D-ECB}=V_{三棱錐E-BCD}即可求出體積．

解答：解：（1）證明：設(shè)AC∩BD=O，連接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
在△PAC中，EO是中位線，∴EO∥PA．
∵PA?平面EDB，EO?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）證明：∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC．
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PDB．
（3）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，
則EF∥PD，EF=

1

2

PD=1，
∵PD⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD．
∴V_{三棱錐D-ECB}=V_{三棱錐E-BCD}=

1

3

×

1

2

×22×1=

2

3

．

點(diǎn)評：熟練掌握線面、面面的平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的中位線定理及等積變形是解題的關(guān)鍵．