Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a為常數(shù)）在x=ln2處取得極值．
（1）求實數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)x＞0時，e^x＞x²+1；
（3）證明：當(dāng)n∈N^*時，1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$＞ln$\frac{（n+1）^{3}}{（3e）^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到a值，代入原函數(shù)解析式，再由導(dǎo)函數(shù)的符號求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）中的函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)的最小值，進(jìn)一步得到函數(shù)g（x）=e^x-x²-1的導(dǎo)函數(shù)大于0，得到其單調(diào)性，證得e^x＞x²+1；
（3）首先利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)x＞0時，${e}^{x}＞\frac{1}{3}{x}^{3}$，得到x+ln3＞3lnx，依次取x=$\frac{2}{1}，\frac{3}{2}，…，\frac{n+1}{n}$，然后累加得答案．

解答 （1）解：f（x）=e^x-ax-1，f′（x）=e^x-a，
由題意可得f′（ln2）=e^ln2-a=0，則a=2，
∴f（x）=e^x-2x-1，f′（x）=e^x-2，
由e^x-2＞0，得x＞ln2，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，ln2），單調(diào)增區(qū)間為（ln2，+∞）；
（2）證明：由（1）知，$f（x）_{min}=f（ln2）={e}^{ln2}-2ln2-1=1-ln4$，
∴f（x）≥1-ln4，即e^x-2x-1≥1-ln4，e^x-2x≥2-ln4＞0，
令g（x）=e^x-x²-1，則g′（x）=e^x-2x＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則g（x）=e^x-x²-1＞g（0）=0，
即e^x＞x²+1；
（3）首先證明當(dāng)x＞0時，${e}^{x}＞\frac{1}{3}{x}^{3}$，
令h（x）=${e}^{x}-\frac{1}{3}{x}^{3}$，則h′（x）=e^x-x²，由（2）知，當(dāng)x＞0時，e^x＞x²，
∴h′（x）＞0，則函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（0）=1＞0，則e^x$＞\frac{1}{3}{x}^{3}$，
∴x＞ln（$\frac{1}{3}{x}^{3}$），即x+ln3＞3lnx，
依次取x=$\frac{2}{1}，\frac{3}{2}，…，\frac{n+1}{n}$，得
$\frac{2}{1}+ln3＞3ln\frac{2}{1}$，$\frac{3}{2}+ln3＞3ln\frac{3}{2}$，…，$\frac{n+1}{n}+ln3＞3ln\frac{n+1}{n}$．
以上各式相加有：$\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+…+\frac{n+1}{n}$＞3ln（$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×…×\frac{n+1}{n}$），
∴n+（1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）+nln3＞3ln（n+1），
∴1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}$＞3ln（n+1）-nln3-n，
即1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$＞ln$\frac{（n+1）^{3}}{（3e）^{n}}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的證明方法，特別是對于（3）的證明，需要想到首先證明當(dāng)x＞0時，${e}^{x}＞\frac{1}{3}{x}^{3}$，入手難度較大．