Question

11．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l：$\sqrt{2}ρsin（θ\right.$$+\frac{π}{4}）=t$=t經(jīng)過點$P（{4\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，曲線C：ρ²（1+3sin²θ）=4．
（Ⅰ）求直線l和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點Q為曲線C上任意一點，且點Q到直線l的距離表示為d，求d的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將點P的坐標代入直線l的極坐標方程，得t=8，整理可得直線l的直角坐標方程；由ρ²（1+3sin²θ）=4，得ρ²+3（ρsinθ）²=4，利用互化公式可得直角坐標方程．
（Ⅱ）設(shè)Q（2cosθ，sinθ），則點Q到直線l的距離d=$\frac{{|{\sqrt{5}sin（{θ+φ}）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）將點P的坐標代入直線l的極坐標方程，得t=8，整理可得直線l的直角坐標方程為x+y-8=0；
由ρ²（1+3sin²θ）=4，得ρ²+3（ρsinθ）²=4，即x²+y²+3y²=4，C的直角坐標方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）設(shè)Q（2cosθ，sinθ），則點Q到直線l的距離$d=\frac{{|{2cosθ+sinθ-8}|}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|{\sqrt{5}sin（{θ+φ}）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$，
當sin（θ+φ）=1時，${d_{min}}=\frac{{8-\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{8\sqrt{2}-\sqrt{10}}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．