5.某同學(xué)在獨(dú)立完成課本上的例題:“求證:$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$<2$\sqrt{5}$”后,又進(jìn)行了探究,發(fā)現(xiàn)下面的不等式均成立.$\sqrt{0}+\sqrt{10}<2\sqrt{5}$
$\sqrt{1.3}+\sqrt{8.7}<2\sqrt{5}$
$\sqrt{2}+\sqrt{8}<2\sqrt{5}$
$\sqrt{4.6}+\sqrt{5.4}<2\sqrt{5}$
$\sqrt{5}+\sqrt{5}≤2\sqrt{5}$
經(jīng)過認(rèn)真地分析、嘗試,該同學(xué)歸納出一個(gè)一般性的不等式:$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$(x,y∈[0,+∞)).請(qǐng)用合適的方法證明該不等式成立.

分析 運(yùn)用分析法證明,通過兩邊平方和完全平方公式,即可得證.

解答 證明:要證:$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$(x,y≥0),
兩邊平方即證x+y+2$\sqrt{xy}$≤2(x+y),
即為x+y-2$\sqrt{xy}$≥0,
即有($\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$)2≥0,
上式顯然成立,且當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得等號(hào).

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納思想的運(yùn)用以及不等式的證明,注意運(yùn)用分析法證明,考查推理和歸納能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知圓C:(x-a)2+(y-2)2=4(a∈R)及直線l:x-y+3=0.當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$時(shí),求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.已知13+23+33+…+n3=$\frac{{{n^2}{{(an+b)}^2}}}{4}$對(duì)一切n∈N+都成立,那么a,b的可能值為( 。
A.a=b=1B.a=1,b=2C.a=2,b=1D.不存在這樣的a,b

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13.為減少“舌尖上的浪費(fèi)”,我校的學(xué)生會(huì)干部對(duì)一中,城關(guān)中學(xué)的食堂用餐的學(xué)生能否做到“光盤”進(jìn)行調(diào)查.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取男、女生各25名進(jìn)行問卷調(diào)查,得到了如下列聯(lián)表:
 男性女性合計(jì)
做不到“光盤”18  
能做到“光盤” 14 
合  計(jì)  50
(Ⅰ)補(bǔ)全相應(yīng)的2×2列聯(lián)表;
(Ⅱ)運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析:能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為在學(xué)校食堂用餐的學(xué)生能做到“光盤”與性別有關(guān)?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個(gè)函數(shù),若函數(shù)y=f(x)-g(x)在[a,b]上兩個(gè)不同的零點(diǎn),則稱f(x)與g(x)的“關(guān)聯(lián)區(qū)間”,若f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$-x與g(x)=2x+b的“關(guān)聯(lián)區(qū)間”是[-3,0],則b的取值范圍是( 。
A.[-9,0]B.$[0,\frac{5}{3}]$C.$[-9,\frac{5}{3}]$D.$[0,\frac{5}{3})$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.如圖所示是y=f(x)的導(dǎo)數(shù)圖象,則正確的判斷是(  )
①f(x)在(-3,1)上是增函數(shù);
②x=-1是f(x)的極小值點(diǎn);
③x=2是f(x)的極小值點(diǎn);
④f(x)在(2,4)上是減函數(shù),在(-1,2)上是增函數(shù).
A.①②④B.②④C.③④D.①③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.(Ⅰ)已知a+2b+3c=6,求a2+2b2+3c2的最小值.
(Ⅱ)求$\sqrt{-3x+12}$+$\sqrt{x}$的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案,則第2016個(gè)圖案中的白色地面磚有( 。
A.8064塊B.8066塊C.8068塊D.8070塊

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處有極值為10,求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)當(dāng)b=1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案