Question

如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)。

(1)求證：BM∥平面PAD；
(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN平面PBD；
(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析，（3）

試題分析：（1）證明線面平行，往往從線線平行出發(fā). 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035146842399.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，所以取PD的中點(diǎn)，則ME為三角形PCD的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)，有，又，所以四邊形為平行四邊形，因此∥，（2）存在性問題，往往從假定出發(fā)，現(xiàn)設(shè)N點(diǎn)位置，這提示要利用空間向量設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，空間向量解決線面垂直問題的關(guān)鍵在于表示出平面的法向量，也可利用線面垂直的性質(zhì)，即垂直平面中兩條相交直線，由及解得，是的中點(diǎn)（3）求線面角，關(guān)鍵在于作出平面的垂線，此時(shí)可利用（2）的結(jié)論，即MN為平面的垂線；另外也可繼續(xù)利用空間向量求線面角，即直線與平面所成角的正弦值為余弦值的絕對(duì)值.
試題解析：解（1）是的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)，則
，又
四邊形為平行四邊形
∥，平面,平面
∥平面                  ..（4分）
（2）以為原點(diǎn)，以、、 所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，
在平面內(nèi)設(shè)，，， 由       
由       
是的中點(diǎn)，此時(shí)平面        （8分）
（3）設(shè)直線與平面所成的角為
，，設(shè)為
   
故直線與平面所成角的正弦為        （12分）