Question

【題目】已知圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且離心率為；

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)曲線表示曲線的軸左邊部分，若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）在條件（2）下，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)離心率可得曲線為雙曲線，然后根據(jù)焦點(diǎn)及離心率可得，進(jìn)而得到曲線方程．（2）將直線方程代入雙曲線方程得到二次方程，根據(jù)題意可得該二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得所求．（3）由弦長(zhǎng)公式及（2）中實(shí)數(shù)的取值范圍可得，于是可得直線AB的方程．設(shè)C（x0，y0），由條件可得，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上可求得．

（1）由e=知，曲線E是以F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0）為焦點(diǎn)的雙曲線，

且c=，，

解得，

∴b2=2﹣1=1，

故雙曲線E的方程是x2﹣y2=1．

（2）由消去整理得

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由題意可得方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，

∴，解得，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（3）由題意及（2）得

6=||=|x1﹣x2|==，

整理得28k4﹣55k2+25=0，

解得或，

又﹣，

∴k=﹣，

故直線AB的方程為．

設(shè)C（x0，y0），由=m，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mx0，my0），

又=﹣4，y1+y2=k（x1+x2）﹣2=8，

∴．

∵點(diǎn)在曲線E上，

∴，解得m=±4，

當(dāng)m=﹣4時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意，

∴m=4為所求．