Question

如圖所示是曾經在北京召開的國際數學家大會的會標，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是

1

25

，則sinθ+cosθ的值等于

7

5

．

Answer 1

分析：設較大的銳角∠ABF為θ，根據大正方形的面積求出邊長AB，由小正方形的面積求出邊長EF，在直角三角形ABF中，根據銳角三角形函數定義表示出AF和FB，由大正方形面積減去小正方形得到四個直角三角形的面積，即可求出直角三角形ABF的面積，而三角形ABF的面積可以用直角邊AF和FB乘積的一半來求出，兩種方法求出的面積相等，列出關系式，求出sinθcosθ，利用平方關系式，求出sinθ+cosθ的值

解答：解：如圖，由已知得：∠ABF=θ，(

π

4

＜θ＜

π

2

)，AB=1，EF=

1

5

，
∴AF=AB•sinθ=sinθ，BF=AB•cosθ=cosθ，
∵S_△ABF=

1

4

（S_{正方形ABCD}-S_{正方形EFGH}）=

1

4

（1-

1

25

）=

6

25

，
且S_△ABF=

1

2

AF•BF=

1

2

sinθcosθ，
∴

1

2

sinθcosθ=

6

25

，
2sinθcosθ=

24

25

．
（sinθ+cosθ）²=

49

25

，
sinθ+cosθ=

7

5

．
故答案為：

7

5

．

點評：此題考查了銳角函數定義，三角形的面積公式，同角三角函數的基本關系式的應用，本題的思路為：借助圖形，根據題意得出直角三角形ABF的面積，進而得到sinθcosθ的值是解題的關鍵．