Question

已知函數(shù)f（x）=|2^|x-1|-2|，關(guān)于x的方程f²（x）-2f（x）+k=0，下列四個(gè)命題中是假命題的是（ ）
A．存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根
B．存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根
C．存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根
D．存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根

Answer 1

【答案】分析：利用換元t=f（x）將方程f²（x）-2f（x）+k=0，化為t²-2t+k=0，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)t≥0，利用函數(shù)f（t）=t²-2t+k的對(duì)稱(chēng)軸為x=1這一性質(zhì)，找去合適的t值，從而得到相應(yīng)的k值，使其滿足題設(shè)要求，一步一步進(jìn)行討論，從而求解．
解答：解：設(shè)t=f（x），則方程f²（x）-2f（x）+k=0化為t²-2t+k=0，∵f（x）=|2^|x-1|-2|，
∴t=f（x）≥0
對(duì)方程，△=4-4k
若k＜1，△＞0，此時(shí)方程有兩個(gè)根，
若k=1，△=0，方程有一個(gè)根，
若k＞1，則方程無(wú)根，
當(dāng)k=-3時(shí)，得t=3或t=-1（舍去），由于t=f（x）=|2^|x-1|-2|，解得x有二個(gè)根，故A正確；
當(dāng)k=0時(shí)，得f（x）=0或f（x）=2，解得x有4個(gè)解，故B正確；
當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)k=，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根，故C答案正確；
因?yàn)楹瘮?shù)g（t）=t²-2t+k圖象關(guān)于t=1對(duì)稱(chēng)，如果方程t²-2t+k=0，有兩異根，則定有一根大于1，一根小于1，其中大于1的根t，代入
t=f（x）=|2^|x-1|-2|只能解出兩個(gè)根，故不能使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查一元二次方程根的存在問(wèn)題，把函數(shù)與方程結(jié)合起來(lái)，進(jìn)行換元，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)判斷根的個(gè)數(shù)，加大了試題的難度．