【題目】已知橢圓的離心率為,焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),面積的最大值是

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),若判定四邊形的面積是否為定值?若為定值,求出定值;如果不是,請(qǐng)說明理由.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)由題意得到的方程組,求出的值,即可得出橢圓方程;

(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),易求出四邊形的面積;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程是,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合判別式和韋達(dá)定理,可表示出弦長,再求出點(diǎn)到直線的距離,根據(jù)和點(diǎn)在曲線上,求出的關(guān)系式,

最后根據(jù),即可得出結(jié)果.

解:(Ⅰ)由解得 得橢圓的方程為.

(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線的方程為,此時(shí)四邊形的面積為

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程是,聯(lián)立橢圓方程

點(diǎn)到直線的距離是

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以有整理得

由題意四邊形為平行四邊形,所以四邊形的面積為

, 故四邊形的面積是定值,其定值為

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小區(qū)

小區(qū)

往返車費(fèi)

3元

5元

服務(wù)老人的人數(shù)

5人

3人

根據(jù)安排,去敬老院的往返總車費(fèi)不能超過37元,且小區(qū)參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)的同學(xué)比小區(qū)的同學(xué)至少多1人,則接受服務(wù)的老人最多有____人.

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