分析 (1)設數列{an}的公差為d,由題意可得:S1S4=S22,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,解出即可得出.
(2)(2)由(1)得Sn=n2,可得bn=1n2<1n(n−1)=1n−1−1n(n≥2).利用“裂項求和”方法即可得出.
解答 解:(1)設數列{an}的公差為d,
由題意可得:S1S4=S22,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,
∵a1=1,d≠0,∴d=2,
∴an=2n-1.
(2)由(1)得Sn=n(1+2n−1)2=n2,∴bn=1n2.
當n=1時,b1=1<2成立;
當n≥2時,bn=1n2<1n(n−1)=1n−1−1n,
∴b1+b2+…+bn<1+1−12+12−13+13−14+…+1n−1−1n=2−1n<2成立,
所以對任意的正整數n,不等式成立.
點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式、“裂項求和”方法、放縮法、數列的單調性,考查了推理能力與技能數列,屬于中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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