【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求證:若,則;
(2)當時,試討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)當時,函數(shù)有且僅有一個零點,當時,函數(shù)有兩個零點.
【解析】
試題(1)函數(shù)求導(dǎo),再求導(dǎo)得恒成立,又因為恒成立;
(2)由(1)可知,當x≤0時,f″(x)≤0,可得 對x∈R,f′(x)≥0,即ex≥x+1,分類討論當x≥-1時,當x<-1時,函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù)即可得解;
當x<-1時,再分0≤m≤1和m<0兩種情況進行討論,由函數(shù)零點定理進行判斷即可得到答案.
試題解析:,所以
(1)當時,,則,令,則,當時,,即,所以函數(shù)在上為增函數(shù),即當時,,所以當時,恒成立,所以函數(shù)在上為增函數(shù),又因為,所以當時,對恒成立.
(2)由(1)知,當時,,所以,所以函數(shù)的減區(qū)間為,增函數(shù)為.所以,所以對 ,,即.
①當時,,又,,即,所以當時,函數(shù)為增函數(shù),又,所以當 時,,當時,,所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點,且為.
②當時,(。┊時,,所以,所以函數(shù)在上遞增,所以,且,故時,函數(shù)在區(qū)間上無零點.
(ⅱ)當時, ,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,,當時,,又曲線在區(qū)間上不間斷,所以,使,故當時,,當時,,所以函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,又,所以對,又當時,,又,曲線在區(qū)間上不間斷.所以,且唯一實數(shù),使得,綜上,當時,函數(shù)有且僅有一個零點;當時,函數(shù)有個兩零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一盒子中有8個大小完全相同的小球,其中3個紅球,2個白球,3個黑球.
(Ⅰ)若不放回地從盒中連續(xù)取兩次球,每次取一個,求在第一次取到紅球的條件下,第二次也取到紅球的概率;
(Ⅱ)若從盒中任取3個球,求取出的3個球中紅球個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)判斷的單調(diào)性,并求極值;
(2)若,且對所有都成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:,過焦點F的直線l與拋物線C交于M,N兩點.
(1)若直線l的傾斜角為,求的長;
(2)設(shè)M在準線上的射影為A,求證:A,O,N三點共線(O為坐標原點).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)7名學(xué)生站成一排,甲、乙只能站在兩端的排法有多少種?(結(jié)果用數(shù)值表示)
(2)7名學(xué)生站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法有多少種?
(3)7名學(xué)生站成一排,甲、乙和丙3名學(xué)生必須相鄰的排法有多少種?
(4)7名學(xué)生站成一排,甲、乙兩名學(xué)生必須相鄰,而且丙不能站在排頭與排尾的排法有多少種?
(5)7名學(xué)生站成一排,甲、乙和丙3名學(xué)生都不能相鄰的排法有多少種?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖,對于任一給定的四面體,找出依次排列的四個相互平行的平面,,,,使得,且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等;
(2)給定依次排列的四個相互平行的平面,,,,其中每相鄰兩個平面間的距離為1,若一個正四面體的四個頂點滿足:,求該正四面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動點滿足:.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)若點,分別位于軸與軸的正半軸上,直線與曲線相交于,兩點,,試問在曲線上是否存在點,使得四邊形(為坐標原點)為平行四邊形?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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