Question

已知橢圓：（）上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過作直 線的垂線交橢圓于點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，過作動(dòng)直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，試證明點(diǎn)恒在一定直線上．

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析；（3）證明詳見解析.

試題分析：（1）利用橢圓的定義、離心率的定義、的關(guān)系列出方程組，解得的值；（2）由右準(zhǔn)線方程設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直的充要條件得，表達(dá)出，將點(diǎn)代入橢圓中，即，代入中，化簡得常數(shù)；（3）設(shè)出點(diǎn)，代入橢圓方程中，設(shè)，由得向量關(guān)系，得到與的關(guān)系，據(jù)與及與系數(shù)比為2:3，得在直線.
試題解析：（1）由題意可得，解得，，,
所以橢圓：．                                   2分
（2）由（1）可知：橢圓的右準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，
因?yàn)镻F₂⊥F₂Q，所以，
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240216284651331.png" style="vertical-align:middle;" />且代入化簡得．
即直線與直線的斜率之積是定值．                     7分.
（3）設(shè)過的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)
，則，．
設(shè)，則，
∴，，
整理得，，，
∴從而，
由于，，∴我們知道與的系數(shù)之比為2：3，與的系數(shù)之比為2：3．
∴，
所以點(diǎn)恒在直線上．                                  13分