Question

“α=

5

12

π”是“cos2α-sin2α=-

1

2

”的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

Answer 1

分析：根據(jù)二倍角的余弦公式和特殊角的三角函數(shù)值，對充分性和必要性分別加以論證，可得“α=

5

12

π”是“cos²α-sin²α=-

1

2

”的既不充分又不必要條件．

解答：解：充分性，
當α=

5

12

π時，cos²α-sin²α=cos2α=cos

5π

6

=-

3

2

，
此時“cos2α-sin2α=-

1

2

”不成立，故充分性不成立；
必要性，
當“cos2α-sin2α=-

1

2

”成立時，
得cos2α=-

1

2

，所以2α=

2π

3

+2kπ或

4π

3

+2kπ，（k∈Z）
解得α=

π

3

+2kπ或

2π

3

+kπ，（k∈Z）
不能得到α=

5

12

π，故必要性不成立
故選：D

點評：本題給出角α的一個值和α滿足的一個三角等式，求兩個條件間的充要關系，著重考查了特殊角的三角函數(shù)值和二倍角的三角公式等知識，屬于基礎題．