Question

20．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+1，（{0≤x＜1}）\\{2^x}-\frac{1}{2}，（{x≥1}）\end{array}\right.$，設(shè)a＞b≥0，若f（a）=f（b），則b•f（a）的取值范圍是（　　）

• A． （1，2]
• B． $（{\frac{3}{4}，2}]$
• C． $[{\frac{3}{4}，2}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，2}）$

Answer 1

分析 作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+1，（{0≤x＜1}）\\{2^x}-\frac{1}{2}，（{x≥1}）\end{array}\right.$的圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合知2-$\frac{1}{2}$≤b+1＜2，可得b的范圍，由f（a）=1+b，求得范圍，由不等式的性質(zhì)從而解得所求范圍．

解答 解：作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+1，（{0≤x＜1}）\\{2^x}-\frac{1}{2}，（{x≥1}）\end{array}\right.$的圖象如下，
結(jié)合圖象可知，
2-$\frac{1}{2}$≤b+1＜2，
解得$\frac{1}{2}$≤b＜1，
f（a）=f（b）=1+b，
由$\frac{3}{2}$≤f（a）＜2，
可得$\frac{3}{4}$≤b•f（a）＜2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．