Question

5．斜率為$\sqrt{3}$的直線l經過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，且交拋物線于A，B兩點，若AB中點到拋物線準線的距離為4，則p的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于直線過其焦點且斜率為$\sqrt{3}$，可得方程，與拋物線的方程聯(lián)立，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系和中點坐標公式可得p．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
拋物線y²=2px的焦點F為（$\frac{p}{2}$，0），準線為x=-$\frac{p}{2}$，
由于直線過其焦點且斜率為$\sqrt{3}$，
可得方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$）．
代入拋物線方程可得12x²-20px+3p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，
∵AB的中點到拋物線準線的距離為4，
∴$\frac{5}{6}$p+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=3．
故選：C．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、根與系數(shù)的關系和中點坐標公式，屬于中檔題．