Question

5．已知圓C的圓心在直線2x-y-3=0上，且經(jīng)過點A（5，2），B（3，2）
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過點P（2，1）且與圓C相交，所得弦長為2$\sqrt{6}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求由題意可知，圓心應(yīng)在線段AB的中垂線上，求出圓心與半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過點P（2，1）且與圓C相交，所得弦長為2$\sqrt{6}$，分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)圓心P（x₀，y₀），由題意可知，圓心應(yīng)在線段AB的中垂線上，
其方程為x=4．由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$得圓心P（4，5），
∴半徑r=|PA|=$\sqrt{10}$．
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）²+（y-5）²=10．…（6分）
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x=2，此時，圓心到直線的距離為2，符合題意．
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y-1=k（x-2），整理得kx-y+1-2k=0，
則圓心到直線的距離為d=$\frac{2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
由題意可知，（$\frac{2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+（$\sqrt{6}$）²=10，
解得k=$\frac{3}{4}$．故所求直線方程為3x-4y-2=0或x=2．…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．