設函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)試問在-3≤x≤3時,f(x)是否有最值?如果有求出最值;如果沒有,說出理由.
分析:(1)令x=y=0,代入題中關系式解出f(0)=0,再令y=-x,證出f(-x+x)=f(-x)+f(x)=0,得到f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù);
(2)設x1<x2可得f(x2-x1)<0,從而證出f(x1)-f(x2)=-f(x2-x1)>0,所以y=f(x)在R上為減函數(shù).再取x=y=1,算出f(3)=3f(1)=-6且f(-3)=-f(3)=6,可得函數(shù)的最大值最小值.
解答:解:(1)令x=y=0,則有f(0)=2f(0)⇒f(0)=0.…(2分)
再令y=-x,則f(0)=f(-x+x)=f(-x)+f(x)=0.
∴f(-x)=-f(x),可得f(x)是奇函數(shù).…(4分)
(2)任取x1<x2,則x2-x1>0,可得f(x2-x1)<0.…(6分)
∵f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)>0.
∴f(x1)>f(x2),可得y=f(x)在R上為減函數(shù).…(9分)
因此f(3)為函數(shù)的最小值,f(-3)為函數(shù)的最大值. 
∵f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,
∴函數(shù)最大值為6,最小值為-6.…(12分)
點評:本題著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調性和利用賦值法解決抽象函數(shù)問題等知識,屬于中檔題.從已知條件中找出具體函數(shù)的性質,使抽象函數(shù)具體化是解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)<0,f(1)=-2
(1)證明f(x)為奇函數(shù).
(2)證明f(x)在R上是減函數(shù).
(3)若f(2x+5)+f(6-7x)>4,求x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時,f(x)<0,且f(1)=2,
①求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
②解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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1
f(x)
,且當x∈(-3,-2)時,f(x)=5x,則f(201.2)=(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x≠0時,xf(x)<0,f(1)=-2
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)試問:在-n≤x≤n時(n∈N*),f(x)是否有最大值?如果有,求出最大值,如果沒有,說明理由.
(3)解關于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b),(b>0)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)求證f(x)是奇函數(shù);
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

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