如圖1,在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中,E,F(xiàn),P分別為AB,AC,BC上的點(diǎn),且滿足AE=FC=CP=1.將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFB,連接A1B,A1P.(如圖2)
(Ⅰ)若Q為A1B中點(diǎn),求證:PQ∥平面A1EF;
(Ⅱ)求證:A1E⊥EP.
【答案】分析:(Ⅰ)取A1E中點(diǎn)M,利用三角形中位線的性質(zhì),可得QM∥BE,且,進(jìn)一步可得QM∥PF,且QM=PF,從而四邊形PQMF為平行四邊形,可得PQ∥FM,利用線面平行的判定,可得PQ∥平面A1EF;
(Ⅱ) 取BE中點(diǎn)D,可得△ADF是正三角形,從而可得EF⊥AD,即A1E⊥EF,根據(jù)平面A1EF⊥平面EFB,可得A1E⊥平面BEF,利用線面垂直的性質(zhì),可得A1E⊥EP.
解答:證明:(Ⅰ)取A1E中點(diǎn)M,連接QM,MF.
在△A1BE中,Q,M分別為A1B,A1E的中點(diǎn),
所以QM∥BE,且
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125553321787428/SYS201310251255533217874070_DA/2.png">,
所以PF∥BE,且,
所以QM∥PF,且QM=PF.
所以四邊形PQMF為平行四邊形.
所以PQ∥FM.                                                …(5分)
又因?yàn)镕M?平面A1EF,且PQ?平面A1EF,
所以PQ∥平面A1EF.                                           …(7分)
(Ⅱ) 取BE中點(diǎn)D,連接DF.
因?yàn)锳E=CF=1,DE=1,
所以AF=AD=2,而∠A=60°,即△ADF是正三角形.
又因?yàn)锳E=ED=1,所以EF⊥AD.
所以在圖2中有A1E⊥EF.…(9分)
因?yàn)槠矫鍭1EF⊥平面EFB,平面A1EF∩平面EFB=EF,
所以A1E⊥平面BEF.…(12分)
又EP?平面BEF,
所以A1E⊥EP.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查空間線面位置關(guān)系,考查線面平行、線面垂直,解題的關(guān)鍵是掌握線面平行、線面垂直的判定方法,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖1,在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn),滿足AE=CF=CP=1,今將△BEP、△CFP分別沿EP、FP向上折起,使邊BP與邊CP所在的直線重合(如圖2),B、C折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為B、C1
(1)求證:PF⊥平面B1EF;
(2)求AB1與平面AEPF所成的角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中,E,F(xiàn),P分別為AB,AC,
BC上的點(diǎn),且滿足AE=FC=CP=1.將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B,A1P(如圖2).
(Ⅰ)求證:A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。

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(2012•東城區(qū)一模)如圖1,在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中,E,F(xiàn),P分別為AB,AC,BC上的點(diǎn),且滿足AE=FC=CP=1.將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFB,連接A1B,A1P.(如圖2)
(Ⅰ)若Q為A1B中點(diǎn),求證:PQ∥平面A1EF;
(Ⅱ)求證:A1E⊥EP.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖1,在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AD=AE,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將△ABF沿AF折起,得到如圖2所示的三棱錐A-BCF,其中BC=
3
2
2

(1)證明:DE∥平面BCF;     
(2)證明:CF⊥平面ABF;
(3)當(dāng)AD=
2
3
時(shí),求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG

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