Question

【題目】已知函數(shù)， ，函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸.

(1)求的值；

(2)求函數(shù)的極小值；

(3)設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點， ， ，證明： .

Answer 1

【答案】(1) (2) 函數(shù)的極小值為.(3) 見解析

【解析】試題分析：（1）由導數(shù)幾何意義得，解得.（2）先求導函數(shù)零點，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，進而確定極小值點（3）先利用斜率公式化簡所證不等式，再利用換元轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)導數(shù)分別證明及

試題解析：解：(1)依題意得，則.

由函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸得：

，所以.

(2)由(1)得，

因為函數(shù)的定義域為，令得或.

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，

故函數(shù)的極小值為.

(3)證法一：依題意得，

要證，即證，

因，即證，

令，即證，

令，則，所以在上單調(diào)遞減，

所以，即，所以①

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即②

綜①②得，即.

證法二：依題意得，

令，則，

由得，當時， ，當時， ，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，

所以，即.