【題目】如圖，四棱錐中，側棱垂直于底面，，，為的中點，平行于，平行于面，.

(1)求的長；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接、，由三角形中位線定理，以及線面平行的判定定理可得平行于，平行于，于是可得為平行四邊形，所以，；（2）取中點，則垂直于，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系，平面法向量為，利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求得

平面法向量為，平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：(1)取的中點，連接、，

因為平行于，平行于，所以平行于，

所以四點共面，

因為平行于面，面與面交與，所以平行于，

所以為平行四邊形.

所以，.

(2取中點，則垂直于，因為平行于，所以垂直于，于是以點為原點，為軸，為軸，為軸建立坐標系，

由垂直于，垂直于，平面法向量為，

通過計算得平面的法向量為.經(jīng)判斷知二面角為鈍角，于是其余弦為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判斷與性質、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】據(jù)中國日報網(wǎng)報道：2017年11月13日，TOP500發(fā)布的最新一期全球超級計算機500強榜單顯示，中國超算在前五名中占據(jù)兩席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了國產(chǎn)品牌處理器。為了了解國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度，某調查公司對兩種國產(chǎn)品牌處理器進行了12次測試，結果如下（數(shù)值越小，速度越快，單位是MIPS）

測試1

測試2

測試3

測試4

測試5

測試6

測試7

測試8

測試9

測試10

測試11

測試12

品牌A

3

6

9

10

4

1

12

17

4

6

6

14

品牌B

2

8

5

4

2

5

8

15

5

12

10

21

設分別表示第次測試中品牌A和品牌B的測試結果，記

（Ⅰ）求數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

（Ⅱ）從滿足的測試中隨機抽取兩次，求品牌A的測試結果恰好有一次大于品牌B的測試結果的概率；

（Ⅲ）經(jīng)過了解，前6次測試是打開含有文字和表格的文件，后6次測試是打開含有文字和圖片的文件.請你依據(jù)表中數(shù)據(jù)，運用所學的統(tǒng)計知識，對這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進行評價.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拋物線，，為拋物線的焦點，是拋物線上兩點，線段的中垂線交軸于，，。

（Ⅰ）證明：是的等差中項；

（Ⅱ）若，為平行于軸的直線，其被以AD為直徑的圓所截得的弦長為定值，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應的生產(chǎn)能耗(噸)標準煤的幾組對照數(shù)據(jù)：

(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；

(2)已知該廠技改前，100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤.試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？

，參考數(shù)值：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，且，是棱上的動點，是的中點.

（1）當是中點時，求證：平面；

（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角為，若存在，求的長，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，矩形中，，平面，，為上的點，且平面.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在邊長為4的菱形中，，點分別是邊的中點，，沿將翻折到，連接，得到如圖所示的五棱錐，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【2018安徽江南十校高三3月聯(lián)考】線段為圓： 的一條直徑，其端點， 在拋物線： 上，且， 兩點到拋物線焦點的距離之和為．

（I）求直徑所在的直線方程；

（II）過點的直線交拋物線于， 兩點，拋物線在， 處的切線相交于點，求面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，,，,側面底面,且是以為底的等腰三角形.

（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）若四棱錐的體積等于.問：是否存在過點的平面分別交，于點，使得平面平面？若存在，求出的面積；若不存在，請說明理由.

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