Question

（12分）如圖，DA⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，E為PB的中點．

（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；

（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣B的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取BC的中點F，連結EF，AF,要證DE∥平面ABC，只要證DE∥AF，即只要證四邊形ADEF是平行四邊形即可；

（Ⅱ）分別以CA，CB，CP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系如圖，根據(jù)題設寫出相關點的坐標，并利用向量的坐標運算求出平面ECD和平面BCD的法向量，進而利用向的夾角公式求解.

試題解析：【解析】
（1）取BC的中點F，連結EF，

則EF∥PC∥DA，且EF=PC=DA=1，

則四邊形ADEF是平行四邊形，

即DE∥AF，

∵DE平面ABC，AF平面ABC，

∴DE∥平面ABC；

（2）∵DA⊥平面ABC，DA∥PC，

∴PC⊥平面ABC，

∵∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，

∴分別以CA，CB，CP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系如圖，

則A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），

則E（0，，1），則=（1，0，﹣1），=（1，2，1），

設=（x，y，z）是平面ECD的法向量，

，，

則，

令z=1，則x=﹣1，y=﹣2，則=（﹣1，﹣2，1），

設=（x，y，z）是平面BCD的法向量，

∵，，

∴，

令z=1，則x=﹣1，則=（﹣1，0，1），

∴cos＜＞=．

易知二面角E﹣CD﹣B為銳角，

故二面角E﹣CD﹣B的余弦值為．

考點：1、空間直線與平面的位置關系；2、空間向量法在解決立體幾何問題中的應用.