Question

已知關(guān)于x的方程4x²-2（m+1）x+m=0的兩個(gè)根恰好是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的余弦，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：解法一設(shè)出直角三角形的兩個(gè)銳角，得到兩個(gè)銳角之間的三角函數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出一元二次方程的判別式，根據(jù)判別式恒大于0，得到方程的根的情況，得到結(jié)果．
解法二根據(jù)兩個(gè)根式銳角三角形的兩個(gè)銳角，再表示出兩個(gè)方程的根，得到銳角α的余弦值，進(jìn)而得到結(jié)果．

解答：解：解法一：設(shè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為α、β，則可得α+β=

π

2

∴cosα=sinβ---（2分）
∵方程4x²-2（m+1）x+m=0中，△=4（m+1）²-4•4m=4（m-1）²≥0
∴當(dāng)m∈R，方程恒有兩實(shí)根．
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=

m+1

2

，cosα•cosβ=sinβcosβ=

m

4

------（6分）
∴由以上兩式及sin²β+cos²β=1，得1+2•

m

4

=（

m+1

2

）²解得m=±

3

------（8分）
當(dāng)m=

3

時(shí)，cosα+cosβ=

3 +1

2

＞0，cosα•cosβ=

3

4

＞0，滿(mǎn)足題意，
當(dāng)m=-

3

時(shí)，cosα+cosβ=

1- 3

2

＜0，這與α、β是銳角矛盾，應(yīng)舍去．
綜上，m=

3

------（10分）
解法二：設(shè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為α、β，則可得α+β=

π

2

∴cosα=sinβ---（2分）
方程4x²-2（m+1）x+m=0的兩根為x=

1

2

或x=

m

2

----------（6分）
所以cosα=

1

2

，所以α=60⁰且β=30⁰----------（8分）
cosβ=cos30°=

m

2

，所以m=

3

----------（10分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系即同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是利用兩個(gè)銳角互余的關(guān)系來(lái)解題，本題是一個(gè)中檔題目．