Question

已知命題P：復數z₁=3-3i，復數z2=

m2-4m-10

m+2

+(m2-2m-12)i，(m∈R)，z₁+z₂是虛數；命題Q：關于x的方程2x²-4（m-1）x+m²+7=0的兩根之差的絕對值小于2．若P∧Q為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據復數的代數形式求得命題p為真時m的范圍；利用韋達定理求得命題q為真時m的范圍，再根據復合命題真值表得若P∧Q為真命題，則命題p、q都是真命題，由此可求出答案．

解答：解：由題意知，z1+z2=

m2-4m-10

m+2

+(m2-2m-12)i+3-3i=

m2-m-4

m+2

+(m2-2m-15)i，
若命題P為真，z₁+z₂是虛數，則有m²-2m-15≠0且m≠-2
∴m的取值范圍為m≠5且m≠-3且m≠-2（m∈R）；
若命題Q為真，則有

△=16(m-1)2-8(m2+7)≥0 |x1-x2|＜2⇒(x1+x2)2-4x1x2＜4

，
而x1+x2=2(m-1)，x1x2=m2+7，
∴有

m2-4m-5≥0 m2-4m-7＜0

⇒2-

11

＜m≤-1或5≤m＜2+

11

，
由復合命題真值表得，若P∧Q為真命題，則命題p、q都是真命題，
∴實數m的取值范圍為(2-

11

，-1]∪(5，2+

11

)．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查了復數的代數形式及一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是求得簡單命題為真時的條件．