Question

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線y²=2px（p＞0），弦AB過焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ為（　　）

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．隨Q位置變化前三種情況都有可能

Answer 1

分析：如圖所示．設(shè)Q(-

p

2

，t)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則

y

2 1

=2px1，

y

2 2

=2px2．
設(shè)直線AB：my=x-

p

2

，與拋物線聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系y1y2=-p2．設(shè)過點(diǎn)A的切線為k1(y-y1)=x-

y 2 1

2p

，與拋物線方程聯(lián)立，可得△=0．設(shè)過點(diǎn)B的切線為k2(y-y2)=x-

y 2 2

2p

，與拋物線方程聯(lián)立，可得△′=0．進(jìn)而即可判斷出結(jié)論．

解答：解：如圖所示．
設(shè)Q(-

p

2

，t)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則

y

2 1

=2px1，

y

2 2

=2px2．
設(shè)直線AB：my=x-

p

2

，聯(lián)立

my=x- p 2 y2=2px

，
化為y²-2pmy-p²=0，
得到y(tǒng)₁+y₂=2pm，y1y2=-p2．
設(shè)過點(diǎn)A的切線為k1(y-y1)=x-

y 2 1

2p

，聯(lián)立

k1(y-y1)=x- y 2 1 2p y2=2px

，
化為y2-2pk1y+2pk1y1-

y

2 1

=0，
∵直線是拋物線的切線，∴△=(-2pk1)2-4(2pk1-

y

2 1

)=0，化為pk₁=y₁．
設(shè)過點(diǎn)B的切線為k2(y-y2)=x-

y 2 2

2p

，同理可得pk₂=y₂．
∴p²k₁k₂=y₁y₂．
∴p2k1k2=-p2，
解得k₁k₂=-1．∴

1

k1k2

=-1．
即△ABQ是直角三角形．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了阿基米德三角形的性質(zhì)、直線與拋物線相切、焦點(diǎn)弦問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．