9.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AD⊥BC于D.將△ADC沿AD翻折至△ADC′,下列說法中正確的是①③④(寫出所有正確命題的序號)
①AD⊥BC′;    
②BC′可能與平面△ADC′垂直;
③D-ABC′可能是正三棱錐;
④三棱錐D-ABC′體積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$.

分析 根據(jù)已知結合線面垂直的判定定理和性質(zhì),可判斷①②;結合正三棱錐的定義,要判斷③;求出三棱錐D-ABC′體積的最大值,可判斷④.

解答 解:∵AD⊥BD,AD⊥C′D,BD,C′D?平面BC′D,C′D∩BD=D,
∴AD⊥平面BC′D,
又∵BC′?平面BC′D,
∴AD⊥BC′,故①正確;
在△BC′D中,BD=C′D,
故∠BC′D不可能為直角,
即BC′⊥C′D不成立,
故BC′不可能與平面△ADC′垂直;
故②錯誤;
當BD⊥C′D時,D-ABC′是正三棱錐,
故③正確;
當BD⊥C′D時,三棱錐D-ABC′體積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$.
故④正確;
故答案為:①③④.

點評 本題考查的知識點是棱錐的結構特征,線面垂直的判定與性質(zhì),難度中檔.

練習冊系列答案
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