Question

【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，并滿(mǎn)足，過(guò)作傾斜角互補(bǔ)的兩直線(xiàn)、分別交橢圓于、兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；

（3）求證直線(xiàn)的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)，由題意可知與，聯(lián)立求解即可.

（2）由題意可知，的斜率為－1，的斜率為1，確定直線(xiàn)方程與直線(xiàn)的方程，然后分別與橢圓聯(lián)立，求解，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可.

（3）由題意可知，直線(xiàn)、的斜率必存在，設(shè)的方程為：，與橢圓聯(lián)立，求解點(diǎn)坐標(biāo)，同理求解點(diǎn)坐標(biāo)，求直線(xiàn)的斜率，即可.

（1）由題可得，，

設(shè)

則，.

∴即

∵點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則.

解得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則的斜率為－1，

因兩條直線(xiàn)、的傾斜角互補(bǔ)，故的斜率為1，

由得，，

即，故，

同理得，

∴直線(xiàn)的方程為

（3）依題意，直線(xiàn)、的斜率必存在，不妨設(shè)的方程為：.

由得，

設(shè)，則，，

同理，則，

同理.

所以，的斜率為定值.