已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,  0),F2(
2
,  0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
| =2
的點(diǎn)P的軌跡是曲線C,直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點(diǎn),且|AB| =
2
5
3

(1)求曲線C的方程;
(2)求直線AB的方程;
(3)若曲線C上存在一點(diǎn)D,使
OA
+
OB
=m
OD
,求m的值及點(diǎn)D到直線AB的距離.
分析:(1)通過已知條件,滿足雙曲線的定義,直接求出曲線C的方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),利用直線與雙曲線聯(lián)立方程組,通過弦長(zhǎng)公式求出直線的斜率,即可求直線AB的方程;
(3)求出A,B,利用
OA
+
OB
=m
OD
,即可求m的值,利用點(diǎn)到直線的距離求解點(diǎn)D到直線AB的距離.
解答:解:(1)由雙曲線的定義可知曲線C是以F1(-
2
,  0),F2(
2
,  0)
為焦點(diǎn)的雙曲線的左半支
c=
2
,  2a=2,a=1
,故b=1,
所以軌跡C的方程是x2-y2=1.(x<0)
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由題意得方程組
y=kx-2
x2-y2=1
消去y得(1-k2)x2+4kx-5=0
又已知直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn),故有
1-k2≠0
△=(4k)2+20(1-k2)>0
x1+x2=
-4k
1-k2
<0
x1x2=
-5
1-k2
>0

解得-
5
<k<-1

|AB| =
1+k2
|x2-x1| =
1+k2
 • 
(
-4k
1-k2
)
2
+4 • 
5
1-k2

=2
(1+k2)(5-k2)
(1-k2)2
=
2
5
3

(1+k2)(5-k2)
(1-k2)2
=
5
9

整理得,7k4-23k2-20=0
解得 k2=4 或 k2=-
5
7
(舍)
由k2=4,得k=-2,(k=2舍)
于是直線AB的方程為y=-2x-2,即2x+y+2=0.
(3)由
x2-y2=1
2x+y+2=0
,解得
x1=-1
y1=0
   
x2=-
5
3
y2=
4
3

不妨設(shè)
OA
=(-1,  0),  
OB
=(-
5
3
,  
4
3
)
,
OA
+
OB
=m
OD
,故有
OD
=(-
8
3m
, 
4
3m
)

將D點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線C的方程,得
64
9m2
-
16
9m2
=1

解得m=±
4
3
3

但當(dāng)m=-
4
3
3
時(shí),點(diǎn)D在雙曲線右支上,不合題意,
m=
4
3
3

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-
2
3
3
,  
3
3
)
,
D到線AB的距離為
|-
4
3
3
+
3
3
+2|
5
=
2
5
-
15
5
點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,點(diǎn)到直線的距離公式,考查設(shè)而不求,考查計(jì)算能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|
=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn).如果
|AB|
=6
3
且曲線E上存在點(diǎn)C,使
OA
+
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2
的點(diǎn)P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)如果|AB|=6
3
且曲線E上存在點(diǎn)C,使
OA
=
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0),F2(
2
,0)
,平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡c的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)M(0,1)的直線l與c交于A、B兩點(diǎn),且
MA
MB
,當(dāng)
1
3
≤λ≤
1
2
時(shí),求直線l的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,點(diǎn)P是曲線E上任意一點(diǎn),且滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2

①求曲線E的軌跡方程;
②若直線y=kx-1與曲線E交于不同兩點(diǎn)A,B兩點(diǎn),求k的范圍.

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