Question

如圖，以AB為直徑的圓有一內接梯形ABCD，且AB∥CD．若雙曲線C₁以A、B為焦點，且過C、D兩點，則當梯形的周長最大時，雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：設∠BAC=θ，作CE⊥AB于點E，則可表示出BC，EB，CD，進而可求得梯形的周長的表達式，根據二次函數的性質求得周長的最大值時θ的值，則AC和BC可求，進而根據雙曲線的定義求得雙曲線的長軸，進而利用e=

c

a

求得答案．

解答：解：設∠BAC=θ，作CE⊥AB于點E，
則BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，有CD=2R-4Rsin²θ，
梯形的周長l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²=-4R(sinθ-

1

2

)2+5R．
當sinθ=

1

2

，即θ=30°時，l有最大值5R，這時，BC=R，AC=

3

R，a=

1

2

(AC-BC)=

1

2

(

3

-1)R，e=

c

a

=

3

+1．
故答案為

3

+1

點評：本題主要考查了雙曲線的應用，雙曲線的定義．考查了學生分析問題和解決問題的能力．