Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2

2

，一個(gè)邊長(zhǎng)2的正方形由位置Ⅰ沿AB邊平行移動(dòng)到位置Ⅱ，若移動(dòng)的距離為x，正方形和三角形的公共部分的面積為f（x）．
（1）求f（x）的解析式；（2）在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的草圖；
（3）根據(jù)圖象，指出函數(shù)y=f（x）的最大值和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移動(dòng)到位置Ⅱ停止，若移動(dòng)的距離為x，此時(shí)正方形和△ABC的公共部分分為三種情況，然后分別求出公共部分的面積為f（x）；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的作圖方法進(jìn)行作圖；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)的最大值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
∴f（x）=

1

2

x2
當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，正方形和△ABC的公共部分是兩個(gè)直角梯形
f（x）=4-

1

2

(x-2)2-

1

2

(4-x)2
當(dāng)x∈（4，6]時(shí)，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
f（x）=

1

2

[2-(x-4) ]  2
綜上所述：f(x)=

1 2 x2 4- 1 2 (x-2)2- 1 2 (4-x)2 1 2 [2-(x-4)]2

x∈[0，2] x∈(2，4] x∈(4，6]

即f(x)=

1 2 x2，(0≤x≤2) -x2+6x-6，(2＜x＜4) 1 2 (x-6)2，(4≤x≤6)

；
（2）分段畫(huà)出圖象

（3）根據(jù)圖象可知當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值最大為3；
單調(diào)增區(qū)間為[0，3]，單調(diào)減區(qū)間為[3，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及分段函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)圖象的作法，屬于中檔題．