Question

已知二面角α-AB-β為120°，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=AC=BD=a，則CD的長為

 

．

Answer 1

分析：由題，在平面β中可過A作AB的垂線，過D作BD的垂線，兩者交于E連接CE，可證得CE垂直于DE，在直角三角形EBC中用勾股定理求出CD的長度，得到答案

解答：解：由題意，作出如圖的圖象，在平面β中可過A作AB的垂線，過D作BD的垂線，兩者交于E連接CE，
由作圖知，四邊形ABDE是矩形，故有DE=AB=a，AE=BD=a，AE⊥AB
又AC⊥AB，易得AB⊥面ACE，即有CE⊥AB，進而得CE⊥DE
有二面角的平面角的定義知，∠CAE=120°
在△CAE中，由余弦定義可得CE²=a²+a²-2×a²×（-

1

2

）=3a²，故CE=

3

a
在直角三角形CED中，由勾股定理得CD²=DE²+CE²=a²+3a²=4a²，
可得CD的長為2a
故答案為：2a．

點評：本題考查與二面角的平面角及求法解題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，在三角形中求出二面角的大小，其作題步驟為：作角，證角，求角．