Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若公差d≠0，a₁=1，且a₃是a₁，a₉的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若對任意的n∈N^*，不等式$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≥λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵a₃是a₁，a₉的等比中項(xiàng)．
∴$（{a}_{1}+2d）^{2}$=a₁（a₁+8d），即（1+2d）²=1+8d，d≠0，解得d=1．
∴通項(xiàng)公式a_n=1+（n-1）=n．
（2）由通項(xiàng)公式知：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$≥$\frac{1}{2}$，
∵對任意的n∈N^*，不等式$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+≥λ恒成立，
∴$λ≤\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．