【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， ．直角梯形可以通過直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面平面．

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（I）求證： ．

（II）求直線和平面所成角的正弦值．

（III）設(shè)為的中點(diǎn)， ， 分別為線段， 上的點(diǎn)（都不與點(diǎn)重合）．若直線平面，求的長(zhǎng)．

【答案】（I）見解析；（II）；（III）.

【解析】試題分析：（I）由面面垂直定理得面，由線面垂直定理即可得出.

（II）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，令， ，即可求出直線和平面所成角的正弦值．

（III）設(shè)，由，表示， ，

由，，求得，，即可求出MH的長(zhǎng).

試題解析：（I）∵，

∴，

∵平面平面且平面平面，

∴面，

∵平面，

∴．

（II）由（I）知， 平面，

∴， ，

∵，

， ， 兩兩垂直，

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

∵，

，

，

，

，

，

．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

∴，

∴，

令， ，

設(shè)直線與平面所成角為，

∵，

，

．

（III）在以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系中，

， ，

， ，

．

設(shè)，

，

∵，

∴，

，

，

若平面，

則，即，

，解得，

∴，

．

點(diǎn)睛:高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù).

①求最大整數(shù)值；

②證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，各射擊局，每局射擊次，射擊命中目標(biāo)得分，未命中目標(biāo)得分，兩人局的得分情況如下：

甲

乙

（Ⅰ）若從甲的局比賽中，隨機(jī)選取局，求這局的得分恰好相等的概率．

（Ⅱ）如果，從甲、乙兩人的局比賽中隨機(jī)各選取局，記這局的得分和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（Ⅲ）在局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同，且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，寫出的所有可能取值．（結(jié)論不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列四個(gè)命題：

①將， ， 三種個(gè)體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的個(gè)體為12個(gè)，則樣本容量為30；

②一組數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)、中位數(shù)相同；

③甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5、6、9、10、5，那么這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲；

④統(tǒng)計(jì)的10個(gè)樣本數(shù)據(jù)為95,105,114,116,120,120,122,125,130,134，則樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為0.4.

其中真命題為（ ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，是等腰三角形，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．

（I）若平面，求；

（II）平面將三棱柱分成兩個(gè)部分，求較小部分與較大部分的體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某地區(qū)中學(xué)生的身體發(fā)育狀況，擬采用分層抽樣的方法從甲、乙、丙三所中學(xué)抽取個(gè)教學(xué)班進(jìn)行調(diào)查．已知甲、乙、丙三所中學(xué)分別有， ， 個(gè)教學(xué)班．

（Ⅰ）求從甲、乙、丙三所中學(xué)中分別抽取的教學(xué)班的個(gè)數(shù)．

（Ⅱ）若從抽取的個(gè)教學(xué)班中隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對(duì)比，求這個(gè)教學(xué)班中至少有一個(gè)來自甲學(xué)校的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（），將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，且在區(qū)間內(nèi)的最大值為.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）在中，內(nèi)角， ， 的對(duì)邊分別是， ， ，若，且，求的周長(zhǎng)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中， 是正三角形，面面， ， ， 和的重心分別為， .

（1）證明： 面；

（2）求與面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓： 的離心率為，過其右焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)， .

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)， 不重合，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn).

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