Question

【題目】對于函數(shù)f（x）與g（x）和區(qū)間D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，則稱x0是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間D上的“友好點(diǎn)”．現(xiàn)給出兩個(gè)函數(shù)：
①f（x）=x2 ， g（x）=2x﹣2；② ，g（x）=x+2；
③f（x）=e﹣x ， ；④f（x）=lnx，g（x）=x．
則在區(qū)間（0，+∞）上存在唯一“友好點(diǎn)”的是 ． （填上所有正確的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：①f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，∴要使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，則只有當(dāng)x0=1時(shí)，滿足條件，
∴在區(qū)間（0，+∞）上的存在唯一“友好點(diǎn)”，∴①正確．
②g（x）﹣f（x）=x﹣ +2= ，∴不存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，∴函數(shù)不存在“友好點(diǎn)”，∴②錯(cuò)誤．
③設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x）=e﹣x+ 則函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)減，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0不唯一，
∴③不滿足條件，∴③錯(cuò)誤．
④h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣lnx，（x＞0），h′（x）=1﹣ ，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值，最小值為h（1）=1﹣0=1，
∴g（x）﹣f（x）≥1，
∴當(dāng)x0=1時(shí)，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0唯一，∴④滿足條件．
所以答案是：①④．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素，需要了解函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù)才能得出正確答案．