Question

已知是橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)。是雙曲線上的動點(diǎn),是橢圓上的動點(diǎn)（、都異于、），且滿足，其中，設(shè)直線、、、的斜率分別記為, ,則              

Answer 1

-5 

解析試題分析：設(shè)出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)，代入雙曲線和橢圓的方程，再利用已知滿足

及其斜率的計(jì)算公式即可求出．解：∵A，B是橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，∴（不妨設(shè)）A（﹣a，0），B（a，0）．
設(shè)P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵，其中λ∈R，∴（x₁+a，y₁）+（x₁﹣a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂﹣a，y₂）]，化為x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都異于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴．
由k₁+k₂==5，化為，（*）
又∵，∴，代入（*）化為．
k₃+k₄==，又，
∴，
∴k₃+k₄===﹣5．
故答案為﹣5．
考點(diǎn)：雙曲線和橢圓的方程
點(diǎn)評：熟練掌握點(diǎn)在曲線上的意義、雙曲線和橢圓的方程、向量的運(yùn)算性質(zhì)、斜率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力